Matemática: La Historia (Parte 2)

Los Babilonios

A partir del año 1800 a. C. los babilonios dominaron gran parte de lo que hoy es Iraq, Irán y Siria.  Con el fin de ampliar y regir su imperio se volvieron maestros en manejar y manipular números.

Hay códigos legales, por ejemplo, que describen cómo se ordenaba la sociedad y de quienes más se sabe es de los escribas, profesionales letrados que manejaban los números y hacían registros de las familias acomodadas, los templos y palacios.

          Ya existían escuelas de escribas alrededor de 2500 a. C.  Los aspirantes a escribas aprendían a leer, a escribir y a trabajar con números.  Los registros de los escribas se guardaban en tablas de arcilla que permitían a los babilonios administrar y expandir su imperio.  Sin embargo, muchas de las tablas que se tienen hoy, no son documentos oficiales sino ejercicios para niños.  Estas reliquias nos ofrecen una extraña visión de cómo los babilonios veían a la matemática.

Al igual que los egipcios, los babilonios parecían interesarse en resolver los problemas prácticos relacionados con las medidas y el peso.  La solución babilónica para estos problemas matemáticos está escrita como una receta matemática.  Un escriba simplemente seguía y registraba un conjunto de instrucciones para llegar a un resultado.  Aquí hay un ejemplo de los problemas que resolvían:

 

Tengo un puñado de ramas de canela, pero no las voy a pesar.  Lo que voy a hacer en cambio es multiplicar cuatro veces su peso y realizar una escala.  Agrego 20 gin (el gin era la antigua medida de peso de Babilonia).  Voy a agregar la mitad de todo, o sea, 2 puñados de ramas de canela y 10 gin, y todo, en su totalidad, es igual a un maná.  Un maná es igual a 60 gin.  Y aquí vemos una de las primeras ecuaciones matemáticas de la historia. 4 puñados de ramas de canela 20 gin 10 gin 2 puñados de ramas de canela = 1 maná Pero, ¿cuánto pesa un puñado de ramas de canela?  Sin ninguna clase de lenguaje algebraico, eran capaces de manipular las cantidades para poder demostrar que las ramas de canela pesaban 5 gin.

Este tipo de problemas son los que le dan un poco de mala fama a las matemáticas, se puede culpar a los babilonios por todos los tortuosos problemas que teníamos en la escuela, pero los antiguos escribas babilonios eran expertos en esta clase de problemas.

Curiosamente, no utilizaban las potencias de diez, como los egipcios, ellos usaban potencias de sesenta.

Los babilonios inventaron su sistema numérico como los egipcios, usando sus dedos.  Pero en lugar de contar con los diez dedos de las manos, los babilonios encontraron una manera mucho más interesante de emplear el cuerpo: utilizaban los doce nudillos de una mano y los cinco dedos de la otra mano para poder contar doce por cinco y así tener sesenta números diferentes.

Pero el número 60 tiene otra propiedad poderosa: es perfectamente divisible de muchas maneras.  Por ejemplo: 60 porotos se pueden organizar en 2 hileras de 30, en 3 hileras de 20, en 4 hileras de 15, en 5 hileras de 12, o en 6 hileras de 10.  La divisibilidad del sesenta convierte a este número en una base perfecta para la aritmética.

El sistema de base sesenta tuvo tanto éxito que aún hoy utilizamos algunos de sus elementos.  Cuando damos la hora reconocemos unidades de sesenta: sesenta segundos en un minuto, sesenta minutos en una hora.  Pero la característica más importante del sistema numérico de los babilonios es que otorga valor a la posición, como con nuestros números decimales en donde tenemos en cuenta las decenas o las centenas o los millares.  En el sistema numérico babilónico los números se cuentan fijando posiciones sobre una base de sesenta.

En lugar de inventar nuevos símbolos para números cada vez más grandes ellos escribían uno, uno, uno (111), así este número sería 3661 (3600+60+1).  El causante de este descubrimiento fue el deseo de los babilonios de cartografiar el cielo nocturno.

El calendario babilónico se basaba en los ciclos de la luna y necesitaba una forma de anotar los grandes números astronómicos.  Mes tras mes, año tras año se registraron estos ciclos.  Desde casi el 800 a. C. hay un listado completo de los eclipses lunares.

El sistema métrico babilónico era bastante sofisticado en ese momento, tenían un sistema de medición angular: 360° para un círculo completo, cada grado se dividía en 60 minutos y este, a su vez, se podía dividir en 60 segundos.  Tenían un sistema regular de medición que estaba en perfecta armonía con su sistema numérico y se adecuaba no solo para la observación sino también para los cálculos.

Sin embargo, para poder lidiar con esos grandes números, los babilonios necesitaron crear un símbolo nuevo, y al hacerlo prepararon el terreno para uno de los grandes avances en la historia de la matemática: el cero (0).

En los primeros tiempos de los babilonios, para marcar un lugar vacío en medio de un número, tan solo dejaban un espacio en blanco, pero necesitaban una forma de representar la nada con un número.  Por ello usaron un signo, como una especie de pausa, un signo de puntuación, y ello comienza a significar cero cuando está en medio de un número.

Esta es la primera vez que el cero aparecía en el universo matemático de alguna forma, pero tendrían que pasar más de mil años antes de que este pequeño espacio se convirtiera en un número propiamente dicho.

Habiendo establecido un sistema sofisticado de números, fue adaptado al terreno árido e inhóspito de la Mesopotamia.  Los ingenieros y agrimensores babilónicos encontraron formas ingeniosas para acceder al agua y hacer canales en los campos de cultivo.  Una vez más se utilizó la matemática para encontrar soluciones.

Muchos problemas de la matemática babilónica están relacionados con la medición de la tierra, y aquí es donde vemos por primera vez el uso de ecuaciones cuadráticas, uno de los grandes legados de la matemática babilónica.

Las ecuaciones cuadráticas sirven para cosas en las que la cantidad desconocida de lo que se intenta identificar se multiplica por sí misma.  La llamamos cuadrática porque el resultado es el área de un cuadrado, y fue al intentar calcular superficies de tierra que estas ecuaciones surgieron naturalmente.

Veamos un problema típico:

Si un campo tiene una superficie de 55 unidades y un lado es 6 unidades más largo que el otro, ¿cuánto mide el lado más corto? La solución babilónica fue pensar el campo como un cuadrado separando un tercio del final y moviéndolo de lugar.  Entonces queda libre una porción de 3x3 que se suma en los lados.  Esto nos deja un cuadrado con nueve unidades más, lo que nos da una superficie de 64 unidades, y el lado del cuadrado mide 8. Quien resuelve la ecuación sabe que se sumaron 3 unidades de un lado, por lo tanto la longitud que buscamos debe ser 5.

Tal vez no lo parezca, pero ésta es una de las primeras ecuaciones cuadráticas de la historia.  En matemática moderna emplearíamos el lenguaje simbólico del álgebra para resolver este problema, pero lo asombroso de los babilonios es que hacían estos acertijos geométricos para hallar el valor sin recorrer a símbolos ni formas.  Los babilonios comenzaron a disfrutar de estos problemas y poco a poco se iban enamorando de la matemática.

La fascinación de los babilonios por los números pronto encontró su lugar durante los momentos de ocio, eran jugadores apasionados.  Los babilonios y sus descendientes han jugado a una versión de back gamon desde hace más de cinco mil años.

Se encontraron tableros de back gamon muy elegantes en tumbas reales, pequeños tableros en escuelas, y tableros improvisados en las entradas de los palacios que los guardias habrían utilizado para jugar cuando estaban aburridos, y utilizaban dados para mover las fichas.

Quienes jugaban estos juegos usaban números en su tiempo libre para tratar de superar en inteligencia a sus oponentes practicando mentalmente aritmética en forma muy veloz.  Por lo que en su tiempo libre calculaban, no veían la matemática como algo muy difícil.

Se sabe que los babilonios son una de las primeras culturas que utilizaron figuras simétricas para hacer dados, pero aún se discute si ellos podrían haber sido los primeros en descubrir el secreto de otra figura importante: el triángulo rectángulo.

Vimos que los egipcios utilizaban un triángulo de tres, cuatro, cinco para trazar un ángulo recto, pero lo que los babilonios sabían sobre ésta y otras formas era mucho más sofisticado aún.

Tabla Plimpton 322

La tabla Plimpton 322 (foto) es la tabla más famosa y polémica que tenemos.  Muchos matemáticos están convencidos de que los babilonios podrían haber conocido las propiedades de los triángulos rectángulos, en donde el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, muchos siglos antes de que los griegos lo anunciaran.

Había quince triángulos pitagóricos perfectos.  En todos, los largos de los catetos eran números enteros.  Es tentador suponer que los griegos fueron los primeros guardianes del Teorema de Pitágoras, y esta posibilidad ha fascinado a generaciones de historiadores.

Pero podría haber una explicación mucho más simple para los conjuntos de tres números que satisfacen el Teorema de Pitágoras.  No es una explicación sistemática de los triples pitagóricos, es simplemente un profesor de matemática haciendo algunos cálculos muy complicados para producir números simples y así crear problemas con triángulos rectángulos para sus alumnos, y en ese sentido refiere a los triples pitagóricos solo por casualidad.

Tablilla de ejercicios escolares

La pista más valiosa para descubrir lo que sabían podría estar en cualquier parte.  Esta pequeña tablilla de ejercicios escolares (foto) tiene casi cuatro mil años, y nos revela lo que los babilonios ya sabían sobre los triángulos rectángulos.  Emplea el principio del Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un nuevo número asombroso.

Dibujado sobre la diagonal hay una muy buena aproximación a la raíz cuadrada de dos, y eso nos demuestra que era conocida y utilizada en el ámbito escolar.  Ahora ¿por qué es importante?  Porque la raíz cuadrada de dos es lo que denominamos un número irracional, es decir que si lo escribimos en forma decimal, o incluso en forma sexagesimal, éste no tiene fin, los números continúan infinitamente después de la coma decimal.

Las consecuencias de éste cálculo son muy importantes.  En primero lugar significa que los babilonios supieron algo del Teorema de Pitágoras miles de años antes que el mismo Pitágoras.  En segundo lugar, el hecho de que pudieran calcular éste número con una precisión de cuatro cifras decimales, muestra una sorprendente facilidad para la aritmética, así como una gran pasión por los detalles matemáticos.

La destreza matemática de los babilonios era increíble, y durante casi dos mil años estuvieron a la vanguardia del progreso intelectual en el mundo antiguo.  Pero cuando su poderío imperial comenzó a declinar, también decayó su fuerza intelectual.