Matemática: La Historia

Vivimos en un mundo compuesto de patrones y secuencias. Una de las razones por las cuales se genera la matemática es la de comprender estos patrones naturales.

En algún momento el hombre comenzó a notar que había patrones, que podía relacionar, contar y ordenar el mundo que lo rodeaba.  Y con todo eso comenzó a surgir un nuevo universo, el universo matemático.

Los egipcios.

Los comienzos de la matemática se pueden ubicar en Egipto, alrededor del año 6000 a.c., alli la gente abandonó la vida nómade y comenzó a asentarse en las márgenes del Río Nilo, donde las condiciones eran perfectas para la agricultura.

El acontecimiento anual más importante en la agricultura egipcia eran las inundaciones del Nilo.  Éstas marcaban el final y el comienzo de cada año.  Los egipcios dejaban registros de lo que sucedía en ciertos períodos.  Para poder establecer un calendario en base a esto, era necesario establecer cuántos días pasaban entre dos fases de la luna o entre dos inundaciones del Nilo.

Llevar registro de cada período era esencial no sólo para su agricultura sino también para su religión.  Los antiguos egipcios creían que el Dios del río (Hapi) provocaba inundaciones cada año, el Dios les traía vida con el agua y los ciudadanos, a cambio, lo agradecían dándole parte de su producción.

Los asentamientos crecían y se volvió necesario encontrar una forma de administrarlos.  Había que calcular las áreas de cultivo, el rendimiento de esos cultivos y aplicar impuestos.  En definitiva la gente necesitaba contar y medir.

Los egipcios utilizaban su cuerpo para medir el mundo, y de esta manera evolucionaron sus unidades de medida.  Un palmo era el ancho de una mano; un codo, el largo de un brazo desde el codo hasta los dedos.  Los codos de tierra eran franjas de tierra que medían cien codos (codo de tierra = 1 codo × 100), y los agrimensores de los faraones los utilizaban para calcular áreas.

 Era fundamental conocer el área del terreno para sumarle al agricultor los impuestos correspondientes, o si el Nilo tomaba parte de su tierra poder pedir rebaja.  O sea que los agrimensores del faraón calculaban el área de parcelas irregulares de tierra, y fue la necesidad de resolver estos problemas prácticos lo que los convirtió en los primeros innovadores matemáticos.

Los egipcios necesitaban una forma de registrar los resultados de sus cálculos, utilizaban un sistema decimal basándose en los diez dedos de las manos.  El signo para el uno era una barra; para el diez, un hueso del talón; para cien, un rollo de soga; y para mil, una planta de loto.

Los jeroglíficos son hermosos, pero el sistema numérico egipcio tenía un defecto fundamental: los caracteres se utilizaban aislados.  O sea que una marca podía representar uno, pero no cien, ni mil.  A pesar de que podían escribir un millón con sólo un carácter en lugar de los siete que utilizamos, para escribir un millón menos uno los pobres escribas egipcios hubieran necesitado escribir nueve barras, nueve huesos de talón, nueve rollos de soga, y seguir así hasta escribir un total de cincuenta y cuatro caracteres.

A pesar de esta desventaja, los egipcios eran brillantes resolviendo problemas.  Esto se sabe gracias a los pocos registros que sobrevivieron.  Los escribas egipcios utilizaban hojas de papiro para registrar sus hallazgos matemáticos.  Este material delicado, hecho de caña, con el tiempo se deterioró y muchos secretos perecieron con él.  Pero sobrevivió un documento revelador: el Papiro Matemático de Rhind.

Este papiro brinda un buen panorama de los problemas matemáticos que debían enfrentar los egipcios.  También explica los métodos que utilizaban para multiplicar y dividir en aquel entonces.

Los papiros muestran cómo hacían para multiplicar dos números grandes, pero para ilustrar el método utilizaremos dos números pequeños, por ejemplo 3×6.

El escriba tomaba el primer número, tres, y lo ubicaba en una columna.  En la segunda columna colocaba el número uno.

☼☼☼

☼

Y luego duplicaba los números en cada columna.

☼☼☼	☼
☼☼☼ ☼☼☼	☼☼
☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼	☼☼☼☼

Y ahora viene la parte más astuta.  Si el escriba quería multiplicar 3×6, lo que hacía era anotar las potencias de dos que suman seis en la segunda columna.  Luego vuelve a la primera columna y sólo toma las filas correspondientes al dos y al cuatro.

☼☼☼ ☼☼☼	☼☼
☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼	☼☼☼☼

Así vemos el seis, el doce, y los suma para obtener el resultado, dieciocho.

Pero lo más interesante de este método es que el escriba había anotado ese segundo número en binario.  Seis es un uno por el dos, un uno por el cuatro y cero unidades. O sea uno, uno, cero.

0	☼
1	☼☼
1	☼☼☼

Pero lo más interesante de este método es que el escriba había anotado ese segundo número en binario.  Seis es un uno por el dos, un uno por el cuatro y cero unidades. O sea uno, uno, cero.
  Los egipcios comprendieron el poder binario más de 3000 años antes de que el filósofo y matemático Leibniz descubriera su potencia.  Hoy en día todo el mundo tecnológico está basado en los mismos principios que se usaban en el antiguo Egipto.

El Papiro Rhind fue escrito por un escriba llamado Ahmes alrededor de 1650 a.C., y sus problemas plantean la búsqueda de soluciones a situaciones cotidianas.  En varios problemas se mencionan el pan y la cerveza, ya que con éstos se les pagaba a los trabajadores egipcios.  En uno se plantea cómo dividir nueve panes entre diez personas sin que se desate un conflicto.

Si tengo 9 panes, corto 5 a la mitad y a los otros 4 panes en 3.  A 2/3 los voy a dividir en 5 y cada parte sería un 1/15.  Cada persona recibe una mitad, un tercio y un quinceavo.

A través de estos problemas, aparentemente prácticos, se comenzó a ver un desarrollo de las matemáticas más abstractas.  Aparecen en la escena nuevos números, fracciones, y poco después los egipcios exploran la matemática de estos números.

Las fracciones tienen una gran importancia práctica cuando alguien quiere dividir cantidades para intercambiar en el mercado.  Para registrar estas transacciones los egipcios desarrollaron la notación, un registro de estos nuevos números.

Una de las primeras representaciones de las fracciones provino de un jeroglífico de gran significado místico.  Se llama “El ojo de Orus”.

Orus era un antiguo dios representado como mitad hombre y mitad halcón.  Según la leyenda, el padre de Orus fue asesinado por su otro hijo, Set.  Orus decidió vengar su muerte.  Durante una batalla particularmente feroz, Set le arrancó un ojo a Orus, lo despedazó y lo esparció por todo Egipto.  Pero los dioses se apiadaron de Orus, recogieron cada trozo y reamaron su ojo.  Cada parte del ojo representa una fracción diferente, y cada parte es la mitad de la porción anterior: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64.  Aunque el ojo original representaba el total, al ojo restituido le faltaba una 1/64 parte.  Y aunque los egipcios se detuvieron en el 1/64, implícita en esta imagen está la posibilidad de agregar más fracciones (1/128, 1/256, 1/512, 1/1024…), partiendo al número por la mitad, para acercarse más a uno, sin alcanzarlo jamás.  Éste es el primer indicio de algo llamado serie geométrica, y aparece varias veces en el Papiro Rhind.  Pero el concepto de serie infinita permaneció oculto hasta que los matemáticos de Asia lo descubrieron siglos después.

Luego de desarrollar un sistema numérico que incluía a estas nuevas fracciones, era hora de que los egipcios aplicaran sus conocimientos para entender las formas que encontraban a diario.  Estas formas rara vez eran cuadradas o rectangulares, y en el Papiro Rhind encontramos la superficie de una forma más orgánica: el círculo.

Lo más sorprendente en el cálculo de la superficie del círculo es la exactitud de los resultados.  Aún es un misterio cómo hicieron para lograrlo, porque en los textos no figuran los métodos.

Este cálculo es particularmente notable, porque interpretaron que la forma de un círculo es la aproximación de otra forma que los egipcios ya comprendían.  El Papiro Rhind establece que la superficie de un círculo con nueve unidades de diámetro es aproximadamente la misma que la de un cuadrado de ocho.  Pero ¿cómo habrán descubierto esta relación?

Entre algunas teorías, hay una que encuentra la respuesta en el antiguo juego de Mancala.  Se encontraron tableros de Mancala tallados en los pasajes de los templos.  Cada jugador comienza con igual número de piedras, y el objetivo del juego es recorrer el tablero capturando en el camino las piedras de los adversarios.  Tal vez algún jugador, esperando a hacer su próxima movida, se dio cuenta de que, a veces, las piedras cubrían los hoyos circulares del tablero del Mancala de un modo interesante.  Tal vez siguió probando con círculos cada vez más grandes.  Tal vez notó que 64 piedras, el cuadrado de ocho, pueden usarse para realizar un círculo con un diámetro de nueve piedras.

Al acomodar de nuevo las piedras se vuelve a formar algo parecido a un cuadrado, y como la superficie del círculo es Pi multiplicado por el radio al cuadrado (π × r²), el cálculo egipcio nos da el primer valor aproximado de Pi.

El área del círculo es 64, dividiéndola por el radio al cuadrado, en este caso 4,5², se obtiene el valor de Pi.  Entonces 64/4,5² = 3,16.  Hay dos centésimos de diferencia con el valor verdadero.  Pero lo brillante de los egipcios es que usaron estas formas pequeñas para figuras de mayor tamaño.  Pero hay un símbolo imponente y majestuoso en la matemática egipcia que aún no se ha podido desentrañar: la pirámide.

Algunos han sugerido que dentro de las proporciones ocultas en las grandes pirámides se encuentra la Proporción Divina.  Dos largos están en proporción divina  si la relación entre el más largo y el más corto es igual a la suma de esos dos largos respecto del lado más largo.  Esa relación se considera la proporción perfecta y está presente tanto en todo el mundo natural como en la labor de los artistas, arquitectos y diseñadores de distintos milenios.

Nunca sabremos si los arquitectos de estas pirámides eran conscientes de este importante concepto matemático, o si llegaron a él por instinto dadas sus bellas propiedades estéticas.

Lo más impresionante de las pirámides es la brillantez matemática con que fueron construidas, incluyendo la noción de uno de los grandes teoremas del mundo antiguo, el Teorema de Pitágoras.

Para lograr esquinas en un perfecto ángulo recto, de edificios y pirámides, los egipcios habrían utilizado una soga con nudos.  En algún momento los egipcios se dieron cuenta que si tomaban un triángulo con los lados marcados con tres nudos, cuatro nudos y cinco nudos, respectivamente, eso les garantizaba un ángulo recto perfecto.  Esto es porque tres al cuadrado más cuatro al cuadrado es igual a cinco al cuadrado ( 3²+4²=5²).  Así tenemos un perfecto triángulo pitagórico.  De hecho, cualquier triángulo cuyos lados cumplan ésta relación me permitirá hacer un ángulo de noventa grados.  Aunque muy probablemente los egipcios no describían del mismo modo estos conceptos, no era su estilo, cada problema se resolvía utilizando números concretos, y si al final se necesitaba una comprobación, se partía de los resultados y esos números concretos.  No hay comprobaciones generales en los textos de la matemática egipcia.

Faltaban unos 2000 años para que los griegos y Pitágoras probaran que todos los triángulos rectángulos compartían ciertas propiedades.  Aunque esa no fue la única idea que anticiparon los matemáticos egipcios.  En un documento de unos 4000 años de antigüedad llamado el Papiro de Moscú, encontramos una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada, que es el primer esbozo del cálculo aplicado.

El cálculo del volumen de una pirámide truncada es uno de los temas más avanzado del antiguo Egipto según nuestros estándares modernos de la matemática.

Los arquitectos y los ingenieros, sin duda, habrían necesitado una fórmula así para calcular la cantidad de materiales necesarios para la construcción.  Pero lo que muestra la sofisticación de la matemática egipcia es que lograron producir métodos muy bellos.

Para entender el desarrollo de su fórmula comenzaremos con una pirámide cuyo vértice más alto está por encima de otro vértice.  Los otros tres se pueden colocar de manera tal como para formar una caja rectangular de modo que el volumen de la pirámide sesgada es un tercio del volumen de la caja, o sea el largo por el alto por el ancho dividido tres.

Este razonamiento muestra los primeros indicios del cálculo aplicado, miles de años antes de que Leibniz e Isaac Newton idearan una teoría.

Supongamos que pudiéramos cortar la pirámide en rebanadas, entonces podríamos deslizarlas y hacer más simétrica a ésta pirámide.  Sin embargo, el volumen de la pirámide no varía a pesar de la redistribución de las secciones, o sea que sigue funcionando la misma fórmula.

Los egipcios fueron innovadores asombrosos y es deslumbrante su capacidad para producir nueva matemática.  Es probable que ellos hayan revelado el poder de la geometría y de los números, y dieran los primeros pasos hacia los fabulosos descubrimientos matemáticos por venir.

Pero hubo otra civilización que en términos matemáticos, competía por igual con Egipto, y de la cual sabemos mucho más: los babilonios.

Instituto Superior O'Higgins
Gral. O'Higgins 1974, Lanús, Bs. As.
4225 4144 / 153 229 9454
www.isoh.com.ar
isoh.educ@gmail.com
info@isoh.com.ar
Facebook
Twitter