Matemática: La Historia (Parte 3)

Los Griegos

Para el año 330 a. C. los griegos habían extendido su imperio hasta la Mesopotamia.  Al igual que los babilonios que los precedieron, los griegos, tenían pasión por la matemática.

Los griegos eran colonizadores inteligentes.  Ellos tomaban lo mejor de las civilizaciones que invadían para incrementar su propio poder-influencia, y poco tiempo después también hacían sus aportes.

Su mayor innovación estuvo relacionada con un cambio de mentalidad, lo que ellos iniciaron influiría a la humanidad durante siglos, nos dejaron el poder de la verdad.

Ellos decidieron que debían tener un sistema deductivo para su matemática, y el típico sistema deductivo era comenzar con ciertos axiomas que asumimos como verdaderos.  Es como asumir que cierto teorema es verdadero, pero sin demostrarlo, y usando métodos lógicos y desarrollos meticulosos, con esos axiomas se comprueban teoremas y con esos teoremas se comprueban más teoremas.  Es como una bola de nieve.

La demostración es lo que le da fuerza a la matemática.  El poder de la demostración significa que lo que descubrieron los griegos es tan cierto hoy como hace dos mil años.

Isla de Samos, a casi un kilometro de la costa turca.  Este lugar se convirtió en el sinónimo de la cuna de la matemática griega por causa de un hombre legendario.  Su nombre es Pitágoras, y las leyendas que rodean su vida y su obra lo han elevado al estatus de una celebridad por los últimos dos mil años.

Se le atribuye, cierto o no, el comienzo de la transformación de la matemática como herramienta para la contabilidad hasta llegar a ser la materia analítica que hoy conocemos.

Pitágoras es una figura polémica.  Como no dejó escritos matemáticos, muchos han dudado si él verdaderamente dedujo alguno de los teoremas que se le adjudican.  Fundó una escuela en Samos, en el siglo VI a. C., pero se sospechaba de sus enseñanzas, y los pitagóricos eran vistos como una secta extraña.

Hay evidencias que revelaron la existencia de escuelas pitagóricas.  Estas son vistas más como sectas que como escuelas filosóficas porque no solo compartían el conocimiento, sino también una forma de vida, en la cual tenían una vida comunitaria compartida, donde todos participaban en la política de la ciudad.  Una característica que era inusual en el mundo antiguo es que se incluía a las mujeres.

Teorema de Pitágoras

Pitágoras es sinónimo de revelar algo que no comprendieron ni los egipcios ni los babilonios: las propiedades de los triángulos rectángulos.  Lo que se conoce como el Teorema de Pitágoras es que en todo triángulo rectángulo, si se agregan cuadrados en todos sus lados, la superficie del cuadrado más grande es igual a la suma de la de los cuadrados más pequeños.

 Podría decirse que aquí nace la matemática y se abre una brecha con las otras ciencias.  Su demostración es simple y sus consecuencias devastadoras.  Ilustra uno de los temas de la matemática griega apelando a hermosos razonamientos geométricos en lugar de basarse sólo en números.

Pitágoras pudo haber caído en desgracia, y muchos de los descubrimientos que se le atribuyen recientemente han sido puestos en duda.  Pero hay una teoría matemática que no podemos dejar de atribuirle, es sobre la música y el descubrimiento de las series armónicas.

La historia cuenta que un día Pitágoras, al caminar cerca de una herrería, escuchó los ruidos de los yunques y notó que se producían notas perfectamente armónicas.  Imaginó que tendría que haber alguna explicación racional de por qué las notas eran agradables al oído.  La respuesta era la matemática.

Pitágoras descubrió, experimentando con un instrumento de cuerdas, que los intervalos entre las notas musicales armoniosas siempre eran representados por proporciones de números enteros.  Y habría podido construir su teoría de esta manera.

Primero tocando una nota al aire en la cuerda, luego a la mitad de su longitud.  Esta última suena casi igual a la primera nota, de hecho, es una octava más alta, pero la relación es tan fuerte que ambas notas llevan el mismo nombre.  Ahora, usamos un tercio de la longitud y nuevamente otra nota armónica, pero en una cuerda de distinta longitud esa proporción resultará en una nota disonante.

Según la leyenda, Pitágoras estaba tan entusiasmado con este descubrimiento que llegó a suponer que todo el universo se había creado a partir de números.  Pero él y sus discípulos encontraron un desafío inquietante para su visión del mundo, y surgió a partir del teorema que lleva el nombre de Pitágoras.

Según la leyenda, uno de sus discípulos, un matemático llamado Hipaso, se propuso encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran uno.  El Teorema de Pitágoras daba a entender que la longitud de la hipotenusa era un número cuyo cuadrado era el dos.  Los pitagóricos asumieron que la respuesta iba a ser una fracción, pero cuando Hipaso trató de expresarlo de esta manera, a pesar de muchos intentos, no pudo encontrarlo.  Finalmente se dio cuenta de que su error era suponer que este valor era una fracción.

El valor de la raíz de dos era el número que los babilonios habían grabado en sus tablas.  Aunque no reconocían la particularidad especial de este número, Hipaso sí, era un número irracional.

Descubrir este nuevo número, y otros de la misma clase, fue como si un explorador descubriera un nuevo continente o un biólogo encontrara una nueva especie.  Pero estos números irracionales no encajaban en la visión del mundo de Pitágoras.  Más tarde los griegos cuentan la historia de cómo Pitágoras hizo guardar silencio a su secta, pero Hipaso reveló el descubrimiento y lo ahogaron por intentar difundir sus investigaciones.

La Academia de Platón

Pero estos descubrimientos matemáticos no se podían reprimir fácilmente.  Comenzaron a surgir escuelas de filosofía y ciencia en toda Grecia con estos fundamentos como base, la más famosa fue La Academia.  Fue fundada por Platón en Atenas en el año 387 a. C.

Aunque hoy lo conocemos más como un filósofo, Platón fue uno de los benefactores más importantes de la matemática.  La visión pitagórica del mundo capturó a Platón, y declaró a la matemática “la base del conocimiento”.

Hay quienes dicen que Platón fue, posiblemente, la figura más influyente, desde nuestra percepción, de la matemática griega.  Él decía que la matemática es importante como forma de conocimiento por su gran conexión con la realidad, o sea que al conocer sobre matemática sabemos más sobre la realidad.

En su Diálogo Timeo, Platón propone la tesis de que la geometría es la clave para develar los secretos del universo.  Una visión que aún hoy sostienen los científicos.  De hecho, la importancia que Platón le otorgaba a la geometría estaba expresada en el cartel que colgaba frente a La Academia: “Que ningún ignorante de la geometría ingrese aquí”.

Los cinco sólidos platónicos

Platón sostenía que el universo se podía cristalizar en cinco formas simétricas regulares.  Estas formas, que hoy denominamos sólidos platónicos, son polígonos regulares montados para crear objetos tridimensionales simétricos.  El tetraedro representaba el fuego, el icosaedro, hecho con veinte triángulos, representaba el agua, el cubo representaba la tierra, el octaedro representaba el aire; y el quinto sólido platónico, el dodecaedro, compuesto por doce pentágonos, se reservó para la forma que representaba la visión del universo de Platón.

La teoría de Platón sacudió los cimientos existentes, y sigue inspirando a matemáticos y astrónomos desde hace más de mil quinientos años.

Además de los descubrimientos realizados en La Academia, los triunfos de la matemática surgían también desde los límites del imperio griego.

Alejandría

Alejandría se convirtió en un centro de excelencia académica bajo las reglas del Ptolomeo en el siglo III a. C., y su famosa biblioteca pronto ganó la reputación de ser la rival de La Academia de Platón.

Los reyes de Alejandría siempre estaban dispuestos a invertir en las artes, en la cultura, en la tecnología, en la matemática, en la gramática, porque patrocinar en las actividades culturales era una buena forma de evidenciar que tenían mucho prestigio y que eran merecedores de toda su grandeza.

La antigua biblioteca y sus valiosos contenidos fueron destruidos cuando los musulmanes conquistaron Egipto en el siglo VII, pero su espíritu aún vive en un edificio nuevo.  Hoy en día la biblioteca sigue siendo un lugar de descubrimientos y estudios.

Los matemáticos y los filósofos acudían a Alejandría sedientos de conocimientos y buscando la excelencia.  Los patronos de la biblioteca fueron los primeros científicos profesionales, y se les pagaba por su devoción a la investigación.  De todos esos pioneros uno muy famoso es el matemático griego Euclides.

Se conoce muy poco sobre la vida de Euclides, pero consiguió sus mayores logros como cronista de la matemática.  Alrededor del año 300 a. C. escribió el libro de texto más importante de todos los tiempos: Los Elementos.

En Los Elementos encontramos la culminación de la revolución matemática que se había producido en Grecia.  Está redactado sobre una serie de supuestos matemáticos llamados axiomas, por ejemplo: “se puede trazar una línea entre dos puntos cualesquiera”.  Basándose en estos axiomas se hacen deducciones lógicas y se formulan teoremas matemáticos.

Los Elementos contiene fórmulas para calcular volúmenes de los conos y cilindros, demostraciones sobre series geométricas, números absolutos y números primos.  El punto culminante de Los Elementos es que determina que hay sólo cinco sólidos platónicos.

Éste es el último teorema que engloba el poder de la matemática.  Una cosa es construir cinco sólidos simétricos, y algo muy distinto es encontrar un hermético y lógico argumento de que no puede haber seis.  Los Elementos está contado como una maravillosa historia de misterio lógico, pero se trata de una historia que trasciende el tiempo.  Las teorías científicas se derriban de una generación a otra, pero los teoremas y Los Elementos son tan válidos hoy como hace dos mil años.

Alejandría debe haber sido un lugar de inspiración para los estudiantes en la antigüedad y la fama de Euclides atraía a más jóvenes intelectuales a este puerto egipcio.  Un matemático que disfrutó mucho del ambiente intelectual en Alejandría fue Arquímedes.  Él se convirtió en un visionario matemático.

Los mejores matemáticos griegos siempre estaban extendiendo los límites, proyectándose, y Arquímedes hizo lo que pudo con los polígonos y los sólidos, luego se volcó a los centros de gravedad y más tarde a la espiral.  Este instinto de ver todo matemáticamente es lo que algunos consideran su mayor legado.

Espejos de Arquímedes

Una de las especialidades de Arquímedes eran las armas de destrucción masiva, que se utilizaron contra los romanos cuando invadieron su hogar de Siracusa en el año 212 a. C., también diseñó espejos para aprovechar el poder del sol para incendiar a las naves romanas.  Pero para Arquímedes estas empresas eran solo pasatiempos geométricos, tenía ambiciones más elevadas.

A Arquímedes le fascinaba la matemática pura y creía en el estudio de la matemática por sí misma, no para su innoble uso en ingeniería ni para la sórdida búsqueda del lucro.  Una de sus mejores investigaciones de matemática pura fue producir fórmulas para calcular las áreas de figuras regulares.

Método de Arquímedes para calcular el área de un círculo

El método de Arquímedes consistía en conseguir formas nuevas utilizando formas ya conocidas.  Por ejemplo, para calcular el área de un círculo lo encerraba dentro de un triángulo, y luego, al duplicar la cantidad de lados del triángulo, la forma resultante se iba pareciendo cada vez más al círculo.  De hecho, a veces nos referimos al círculo como un polígono con infinitos lados.

Arquímedes, al estimar el área del círculo, de hecho, logró un valor para pi (π), el número más importante de la matemática.  Sin embargo, calcular el volumen de los objetos sólidos era la especialidad de Arquímedes.  Encontró la forma de calcular el volumen de una esfera rebanándola y pensando en cada corte  como un cilindro, luego sumó los volúmenes de los cortes para lograr un resultado aproximado para el volumen de la esfera.  Pero su genialidad fue preguntarse qué sucedería si se realizaban cortes cada vez más delgados, en el límite la aproximación se convierte en un cálculo exacto.  Pero el compromiso de Arquímedes con la matemática iba a ser su perdición.

Arquímedes estaba contemplando un problema sobre unos círculos dibujados en la arena cuando un soldado romano se acercó a él.  Arquímedes estaba tan absorto en el problema que insistió en que lo dejara resolver el problema, pero el soldado romano no estaba interesado en su problema y lo mató en el acto.  Aún en peligro, la devoción de Arquímedes por la matemática siguió inmutable.

A mediados del siglo I a. C. los romanos reforzaron el control sobre el antiguo imperio griego, no estaban tan impresionados con la belleza de la matemática sino más bien por sus aplicaciones prácticas.  Esta actitud pragmática marcó el principio del fin para la biblioteca de Alejandría.  Pero una mujer matemática estaba decidida a preservar vivo el legado de los griegos.  Hipatia fue excepcional: mujer, matemática y pagana en medio de un difícil y cristiano imperio romano.

Hipatia era muy prestigiosa e influyente en su tiempo, fue maestra de muchos estudiantes y muchos seguidores.  Ella tuvo una gran influencia política en Alejandría, así que esta combinación de alto conocimiento y de alto prestigio dentro de la sociedad fue lo que la convirtió en una figura sumamente odiada por la “mafia” cristiana.

Una mañana, durante la cuaresma, Hipatia fue arrastrada fuera de su carroza por una encendida multitud cristiana y llevada a una iglesia, allí fue torturada y brutalmente asesinada.  Las circunstancias dramáticas de su vida y su muerte fascinaron a las generaciones posteriores, lamentablemente su religión eclipsó sus logros matemáticos.  Ella fue una profesora y teórica brillante, y su muerte representó la estocada final para la herencia de la matemática griega en Alejandría.

Matemática: La Historia (Parte 2)

Los Babilonios

A partir del año 1800 a. C. los babilonios dominaron gran parte de lo que hoy es Iraq, Irán y Siria.  Con el fin de ampliar y regir su imperio se volvieron maestros en manejar y manipular números.

Hay códigos legales, por ejemplo, que describen cómo se ordenaba la sociedad y de quienes más se sabe es de los escribas, profesionales letrados que manejaban los números y hacían registros de las familias acomodadas, los templos y palacios.

          Ya existían escuelas de escribas alrededor de 2500 a. C.  Los aspirantes a escribas aprendían a leer, a escribir y a trabajar con números.  Los registros de los escribas se guardaban en tablas de arcilla que permitían a los babilonios administrar y expandir su imperio.  Sin embargo, muchas de las tablas que se tienen hoy, no son documentos oficiales sino ejercicios para niños.  Estas reliquias nos ofrecen una extraña visión de cómo los babilonios veían a la matemática.

Al igual que los egipcios, los babilonios parecían interesarse en resolver los problemas prácticos relacionados con las medidas y el peso.  La solución babilónica para estos problemas matemáticos está escrita como una receta matemática.  Un escriba simplemente seguía y registraba un conjunto de instrucciones para llegar a un resultado.  Aquí hay un ejemplo de los problemas que resolvían:

 

Tengo un puñado de ramas de canela, pero no las voy a pesar.  Lo que voy a hacer en cambio es multiplicar cuatro veces su peso y realizar una escala.  Agrego 20 gin (el gin era la antigua medida de peso de Babilonia).  Voy a agregar la mitad de todo, o sea, 2 puñados de ramas de canela y 10 gin, y todo, en su totalidad, es igual a un maná.  Un maná es igual a 60 gin.  Y aquí vemos una de las primeras ecuaciones matemáticas de la historia. 4 puñados de ramas de canela 20 gin 10 gin 2 puñados de ramas de canela = 1 maná Pero, ¿cuánto pesa un puñado de ramas de canela?  Sin ninguna clase de lenguaje algebraico, eran capaces de manipular las cantidades para poder demostrar que las ramas de canela pesaban 5 gin.

Este tipo de problemas son los que le dan un poco de mala fama a las matemáticas, se puede culpar a los babilonios por todos los tortuosos problemas que teníamos en la escuela, pero los antiguos escribas babilonios eran expertos en esta clase de problemas.

Curiosamente, no utilizaban las potencias de diez, como los egipcios, ellos usaban potencias de sesenta.

Los babilonios inventaron su sistema numérico como los egipcios, usando sus dedos.  Pero en lugar de contar con los diez dedos de las manos, los babilonios encontraron una manera mucho más interesante de emplear el cuerpo: utilizaban los doce nudillos de una mano y los cinco dedos de la otra mano para poder contar doce por cinco y así tener sesenta números diferentes.

Pero el número 60 tiene otra propiedad poderosa: es perfectamente divisible de muchas maneras.  Por ejemplo: 60 porotos se pueden organizar en 2 hileras de 30, en 3 hileras de 20, en 4 hileras de 15, en 5 hileras de 12, o en 6 hileras de 10.  La divisibilidad del sesenta convierte a este número en una base perfecta para la aritmética.

El sistema de base sesenta tuvo tanto éxito que aún hoy utilizamos algunos de sus elementos.  Cuando damos la hora reconocemos unidades de sesenta: sesenta segundos en un minuto, sesenta minutos en una hora.  Pero la característica más importante del sistema numérico de los babilonios es que otorga valor a la posición, como con nuestros números decimales en donde tenemos en cuenta las decenas o las centenas o los millares.  En el sistema numérico babilónico los números se cuentan fijando posiciones sobre una base de sesenta.

En lugar de inventar nuevos símbolos para números cada vez más grandes ellos escribían uno, uno, uno (111), así este número sería 3661 (3600+60+1).  El causante de este descubrimiento fue el deseo de los babilonios de cartografiar el cielo nocturno.

El calendario babilónico se basaba en los ciclos de la luna y necesitaba una forma de anotar los grandes números astronómicos.  Mes tras mes, año tras año se registraron estos ciclos.  Desde casi el 800 a. C. hay un listado completo de los eclipses lunares.

El sistema métrico babilónico era bastante sofisticado en ese momento, tenían un sistema de medición angular: 360° para un círculo completo, cada grado se dividía en 60 minutos y este, a su vez, se podía dividir en 60 segundos.  Tenían un sistema regular de medición que estaba en perfecta armonía con su sistema numérico y se adecuaba no solo para la observación sino también para los cálculos.

Sin embargo, para poder lidiar con esos grandes números, los babilonios necesitaron crear un símbolo nuevo, y al hacerlo prepararon el terreno para uno de los grandes avances en la historia de la matemática: el cero (0).

En los primeros tiempos de los babilonios, para marcar un lugar vacío en medio de un número, tan solo dejaban un espacio en blanco, pero necesitaban una forma de representar la nada con un número.  Por ello usaron un signo, como una especie de pausa, un signo de puntuación, y ello comienza a significar cero cuando está en medio de un número.

Esta es la primera vez que el cero aparecía en el universo matemático de alguna forma, pero tendrían que pasar más de mil años antes de que este pequeño espacio se convirtiera en un número propiamente dicho.

Habiendo establecido un sistema sofisticado de números, fue adaptado al terreno árido e inhóspito de la Mesopotamia.  Los ingenieros y agrimensores babilónicos encontraron formas ingeniosas para acceder al agua y hacer canales en los campos de cultivo.  Una vez más se utilizó la matemática para encontrar soluciones.

Muchos problemas de la matemática babilónica están relacionados con la medición de la tierra, y aquí es donde vemos por primera vez el uso de ecuaciones cuadráticas, uno de los grandes legados de la matemática babilónica.

Las ecuaciones cuadráticas sirven para cosas en las que la cantidad desconocida de lo que se intenta identificar se multiplica por sí misma.  La llamamos cuadrática porque el resultado es el área de un cuadrado, y fue al intentar calcular superficies de tierra que estas ecuaciones surgieron naturalmente.

Veamos un problema típico:

Si un campo tiene una superficie de 55 unidades y un lado es 6 unidades más largo que el otro, ¿cuánto mide el lado más corto? La solución babilónica fue pensar el campo como un cuadrado separando un tercio del final y moviéndolo de lugar.  Entonces queda libre una porción de 3x3 que se suma en los lados.  Esto nos deja un cuadrado con nueve unidades más, lo que nos da una superficie de 64 unidades, y el lado del cuadrado mide 8. Quien resuelve la ecuación sabe que se sumaron 3 unidades de un lado, por lo tanto la longitud que buscamos debe ser 5.

Tal vez no lo parezca, pero ésta es una de las primeras ecuaciones cuadráticas de la historia.  En matemática moderna emplearíamos el lenguaje simbólico del álgebra para resolver este problema, pero lo asombroso de los babilonios es que hacían estos acertijos geométricos para hallar el valor sin recorrer a símbolos ni formas.  Los babilonios comenzaron a disfrutar de estos problemas y poco a poco se iban enamorando de la matemática.

La fascinación de los babilonios por los números pronto encontró su lugar durante los momentos de ocio, eran jugadores apasionados.  Los babilonios y sus descendientes han jugado a una versión de back gamon desde hace más de cinco mil años.

Se encontraron tableros de back gamon muy elegantes en tumbas reales, pequeños tableros en escuelas, y tableros improvisados en las entradas de los palacios que los guardias habrían utilizado para jugar cuando estaban aburridos, y utilizaban dados para mover las fichas.

Quienes jugaban estos juegos usaban números en su tiempo libre para tratar de superar en inteligencia a sus oponentes practicando mentalmente aritmética en forma muy veloz.  Por lo que en su tiempo libre calculaban, no veían la matemática como algo muy difícil.

Se sabe que los babilonios son una de las primeras culturas que utilizaron figuras simétricas para hacer dados, pero aún se discute si ellos podrían haber sido los primeros en descubrir el secreto de otra figura importante: el triángulo rectángulo.

Vimos que los egipcios utilizaban un triángulo de tres, cuatro, cinco para trazar un ángulo recto, pero lo que los babilonios sabían sobre ésta y otras formas era mucho más sofisticado aún.

Tabla Plimpton 322

La tabla Plimpton 322 (foto) es la tabla más famosa y polémica que tenemos.  Muchos matemáticos están convencidos de que los babilonios podrían haber conocido las propiedades de los triángulos rectángulos, en donde el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, muchos siglos antes de que los griegos lo anunciaran.

Había quince triángulos pitagóricos perfectos.  En todos, los largos de los catetos eran números enteros.  Es tentador suponer que los griegos fueron los primeros guardianes del Teorema de Pitágoras, y esta posibilidad ha fascinado a generaciones de historiadores.

Pero podría haber una explicación mucho más simple para los conjuntos de tres números que satisfacen el Teorema de Pitágoras.  No es una explicación sistemática de los triples pitagóricos, es simplemente un profesor de matemática haciendo algunos cálculos muy complicados para producir números simples y así crear problemas con triángulos rectángulos para sus alumnos, y en ese sentido refiere a los triples pitagóricos solo por casualidad.

Tablilla de ejercicios escolares

La pista más valiosa para descubrir lo que sabían podría estar en cualquier parte.  Esta pequeña tablilla de ejercicios escolares (foto) tiene casi cuatro mil años, y nos revela lo que los babilonios ya sabían sobre los triángulos rectángulos.  Emplea el principio del Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un nuevo número asombroso.

Dibujado sobre la diagonal hay una muy buena aproximación a la raíz cuadrada de dos, y eso nos demuestra que era conocida y utilizada en el ámbito escolar.  Ahora ¿por qué es importante?  Porque la raíz cuadrada de dos es lo que denominamos un número irracional, es decir que si lo escribimos en forma decimal, o incluso en forma sexagesimal, éste no tiene fin, los números continúan infinitamente después de la coma decimal.

Las consecuencias de éste cálculo son muy importantes.  En primero lugar significa que los babilonios supieron algo del Teorema de Pitágoras miles de años antes que el mismo Pitágoras.  En segundo lugar, el hecho de que pudieran calcular éste número con una precisión de cuatro cifras decimales, muestra una sorprendente facilidad para la aritmética, así como una gran pasión por los detalles matemáticos.

La destreza matemática de los babilonios era increíble, y durante casi dos mil años estuvieron a la vanguardia del progreso intelectual en el mundo antiguo.  Pero cuando su poderío imperial comenzó a declinar, también decayó su fuerza intelectual.