Los Griegos
Para el año 330 a. C. los griegos habían extendido su imperio hasta la Mesopotamia. Al igual que los babilonios que los precedieron, los griegos, tenían pasión por la matemática.
Los griegos eran colonizadores inteligentes. Ellos tomaban lo mejor de las civilizaciones que invadían para incrementar su propio poder-influencia, y poco tiempo después también hacían sus aportes.
Su mayor innovación estuvo relacionada con un cambio de mentalidad, lo que ellos iniciaron influiría a la humanidad durante siglos, nos dejaron el poder de la verdad.
Ellos decidieron que debían tener un sistema deductivo para su matemática, y el típico sistema deductivo era comenzar con ciertos axiomas que asumimos como verdaderos. Es como asumir que cierto teorema es verdadero, pero sin demostrarlo, y usando métodos lógicos y desarrollos meticulosos, con esos axiomas se comprueban teoremas y con esos teoremas se comprueban más teoremas. Es como una bola de nieve.
La demostración es lo que le da fuerza a la matemática. El poder de la demostración significa que lo que descubrieron los griegos es tan cierto hoy como hace dos mil años.
Isla de Samos, a casi un kilometro de la costa turca. Este lugar se convirtió en el sinónimo de la cuna de la matemática griega por causa de un hombre legendario. Su nombre es Pitágoras, y las leyendas que rodean su vida y su obra lo han elevado al estatus de una celebridad por los últimos dos mil años.
Se le atribuye, cierto o no, el comienzo de la transformación de la matemática como herramienta para la contabilidad hasta llegar a ser la materia analítica que hoy conocemos.
Pitágoras es una figura polémica. Como no dejó escritos matemáticos, muchos han dudado si él verdaderamente dedujo alguno de los teoremas que se le adjudican. Fundó una escuela en Samos, en el siglo VI a. C., pero se sospechaba de sus enseñanzas, y los pitagóricos eran vistos como una secta extraña.
Hay evidencias que revelaron la existencia de escuelas pitagóricas. Estas son vistas más como sectas que como escuelas filosóficas porque no solo compartían el conocimiento, sino también una forma de vida, en la cual tenían una vida comunitaria compartida, donde todos participaban en la política de la ciudad. Una característica que era inusual en el mundo antiguo es que se incluía a las mujeres.
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| Teorema de Pitágoras |
Pitágoras es sinónimo de revelar algo que no comprendieron ni los egipcios ni los babilonios: las propiedades de los triángulos rectángulos. Lo que se conoce como el Teorema de Pitágoras es que en todo triángulo rectángulo, si se agregan cuadrados en todos sus lados, la superficie del cuadrado más grande es igual a la suma de la de los cuadrados más pequeños.
Podría decirse que aquí nace la matemática y se abre una brecha con las otras ciencias. Su demostración es simple y sus consecuencias devastadoras. Ilustra uno de los temas de la matemática griega apelando a hermosos razonamientos geométricos en lugar de basarse sólo en números.
Pitágoras pudo haber caído en desgracia, y muchos de los descubrimientos que se le atribuyen recientemente han sido puestos en duda. Pero hay una teoría matemática que no podemos dejar de atribuirle, es sobre la música y el descubrimiento de las series armónicas.
La historia cuenta que un día Pitágoras, al caminar cerca de una herrería, escuchó los ruidos de los yunques y notó que se producían notas perfectamente armónicas. Imaginó que tendría que haber alguna explicación racional de por qué las notas eran agradables al oído. La respuesta era la matemática.
Pitágoras descubrió, experimentando con un instrumento de cuerdas, que los intervalos entre las notas musicales armoniosas siempre eran representados por proporciones de números enteros. Y habría podido construir su teoría de esta manera.
Primero tocando una nota al aire en la cuerda, luego a la mitad de su longitud. Esta última suena casi igual a la primera nota, de hecho, es una octava más alta, pero la relación es tan fuerte que ambas notas llevan el mismo nombre. Ahora, usamos un tercio de la longitud y nuevamente otra nota armónica, pero en una cuerda de distinta longitud esa proporción resultará en una nota disonante.
Según la leyenda, Pitágoras estaba tan entusiasmado con este descubrimiento que llegó a suponer que todo el universo se había creado a partir de números. Pero él y sus discípulos encontraron un desafío inquietante para su visión del mundo, y surgió a partir del teorema que lleva el nombre de Pitágoras.
Según la leyenda, uno de sus discípulos, un matemático llamado Hipaso, se propuso encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran uno. El Teorema de Pitágoras daba a entender que la longitud de la hipotenusa era un número cuyo cuadrado era el dos. Los pitagóricos asumieron que la respuesta iba a ser una fracción, pero cuando Hipaso trató de expresarlo de esta manera, a pesar de muchos intentos, no pudo encontrarlo. Finalmente se dio cuenta de que su error era suponer que este valor era una fracción.
El valor de la raíz de dos era el número que los babilonios habían grabado en sus tablas. Aunque no reconocían la particularidad especial de este número, Hipaso sí, era un número irracional.
Descubrir este nuevo número, y otros de la misma clase, fue como si un explorador descubriera un nuevo continente o un biólogo encontrara una nueva especie. Pero estos números irracionales no encajaban en la visión del mundo de Pitágoras. Más tarde los griegos cuentan la historia de cómo Pitágoras hizo guardar silencio a su secta, pero Hipaso reveló el descubrimiento y lo ahogaron por intentar difundir sus investigaciones.
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| La Academia de Platón |
Pero estos descubrimientos matemáticos no se podían reprimir fácilmente. Comenzaron a surgir escuelas de filosofía y ciencia en toda Grecia con estos fundamentos como base, la más famosa fue La Academia. Fue fundada por Platón en Atenas en el año 387 a. C.
Aunque hoy lo conocemos más como un filósofo, Platón fue uno de los benefactores más importantes de la matemática. La visión pitagórica del mundo capturó a Platón, y declaró a la matemática “la base del conocimiento”.
Hay quienes dicen que Platón fue, posiblemente, la figura más influyente, desde nuestra percepción, de la matemática griega. Él decía que la matemática es importante como forma de conocimiento por su gran conexión con la realidad, o sea que al conocer sobre matemática sabemos más sobre la realidad.
En su Diálogo Timeo, Platón propone la tesis de que la geometría es la clave para develar los secretos del universo. Una visión que aún hoy sostienen los científicos. De hecho, la importancia que Platón le otorgaba a la geometría estaba expresada en el cartel que colgaba frente a La Academia: “Que ningún ignorante de la geometría ingrese aquí”.
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| Los cinco sólidos platónicos |
Platón sostenía que el universo se podía cristalizar en cinco formas simétricas regulares. Estas formas, que hoy denominamos sólidos platónicos, son polígonos regulares montados para crear objetos tridimensionales simétricos. El tetraedro representaba el fuego, el icosaedro, hecho con veinte triángulos, representaba el agua, el cubo representaba la tierra, el octaedro representaba el aire; y el quinto sólido platónico, el dodecaedro, compuesto por doce pentágonos, se reservó para la forma que representaba la visión del universo de Platón.
La teoría de Platón sacudió los cimientos existentes, y sigue inspirando a matemáticos y astrónomos desde hace más de mil quinientos años.
Además de los descubrimientos realizados en La Academia, los triunfos de la matemática surgían también desde los límites del imperio griego.
Alejandría
Alejandría se convirtió en un centro de excelencia académica bajo las reglas del Ptolomeo en el siglo III a. C., y su famosa biblioteca pronto ganó la reputación de ser la rival de La Academia de Platón.
Los reyes de Alejandría siempre estaban dispuestos a invertir en las artes, en la cultura, en la tecnología, en la matemática, en la gramática, porque patrocinar en las actividades culturales era una buena forma de evidenciar que tenían mucho prestigio y que eran merecedores de toda su grandeza.
La antigua biblioteca y sus valiosos contenidos fueron destruidos cuando los musulmanes conquistaron Egipto en el siglo VII, pero su espíritu aún vive en un edificio nuevo. Hoy en día la biblioteca sigue siendo un lugar de descubrimientos y estudios.
Los matemáticos y los filósofos acudían a Alejandría sedientos de conocimientos y buscando la excelencia. Los patronos de la biblioteca fueron los primeros científicos profesionales, y se les pagaba por su devoción a la investigación. De todos esos pioneros uno muy famoso es el matemático griego Euclides.
Se conoce muy poco sobre la vida de Euclides, pero consiguió sus mayores logros como cronista de la matemática. Alrededor del año 300 a. C. escribió el libro de texto más importante de todos los tiempos: Los Elementos.
En Los Elementos encontramos la culminación de la revolución matemática que se había producido en Grecia. Está redactado sobre una serie de supuestos matemáticos llamados axiomas, por ejemplo: “se puede trazar una línea entre dos puntos cualesquiera”. Basándose en estos axiomas se hacen deducciones lógicas y se formulan teoremas matemáticos.
Los Elementos contiene fórmulas para calcular volúmenes de los conos y cilindros, demostraciones sobre series geométricas, números absolutos y números primos. El punto culminante de Los Elementos es que determina que hay sólo cinco sólidos platónicos.
Éste es el último teorema que engloba el poder de la matemática. Una cosa es construir cinco sólidos simétricos, y algo muy distinto es encontrar un hermético y lógico argumento de que no puede haber seis. Los Elementos está contado como una maravillosa historia de misterio lógico, pero se trata de una historia que trasciende el tiempo. Las teorías científicas se derriban de una generación a otra, pero los teoremas y Los Elementos son tan válidos hoy como hace dos mil años.
Alejandría debe haber sido un lugar de inspiración para los estudiantes en la antigüedad y la fama de Euclides atraía a más jóvenes intelectuales a este puerto egipcio. Un matemático que disfrutó mucho del ambiente intelectual en Alejandría fue Arquímedes. Él se convirtió en un visionario matemático.
Los mejores matemáticos griegos siempre estaban extendiendo los límites, proyectándose, y Arquímedes hizo lo que pudo con los polígonos y los sólidos, luego se volcó a los centros de gravedad y más tarde a la espiral. Este instinto de ver todo matemáticamente es lo que algunos consideran su mayor legado.
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| Espejos de Arquímedes |
Una de las especialidades de Arquímedes eran las armas de destrucción masiva, que se utilizaron contra los romanos cuando invadieron su hogar de Siracusa en el año 212 a. C., también diseñó espejos para aprovechar el poder del sol para incendiar a las naves romanas. Pero para Arquímedes estas empresas eran solo pasatiempos geométricos, tenía ambiciones más elevadas.
A Arquímedes le fascinaba la matemática pura y creía en el estudio de la matemática por sí misma, no para su innoble uso en ingeniería ni para la sórdida búsqueda del lucro. Una de sus mejores investigaciones de matemática pura fue producir fórmulas para calcular las áreas de figuras regulares.
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| Método de Arquímedes para calcular el área de un círculo |
El método de Arquímedes consistía en conseguir formas nuevas utilizando formas ya conocidas. Por ejemplo, para calcular el área de un círculo lo encerraba dentro de un triángulo, y luego, al duplicar la cantidad de lados del triángulo, la forma resultante se iba pareciendo cada vez más al círculo. De hecho, a veces nos referimos al círculo como un polígono con infinitos lados.
Arquímedes, al estimar el área del círculo, de hecho, logró un valor para pi (π), el número más importante de la matemática. Sin embargo, calcular el volumen de los objetos sólidos era la especialidad de Arquímedes. Encontró la forma de calcular el volumen de una esfera rebanándola y pensando en cada corte como un cilindro, luego sumó los volúmenes de los cortes para lograr un resultado aproximado para el volumen de la esfera. Pero su genialidad fue preguntarse qué sucedería si se realizaban cortes cada vez más delgados, en el límite la aproximación se convierte en un cálculo exacto. Pero el compromiso de Arquímedes con la matemática iba a ser su perdición.
Arquímedes estaba contemplando un problema sobre unos círculos dibujados en la arena cuando un soldado romano se acercó a él. Arquímedes estaba tan absorto en el problema que insistió en que lo dejara resolver el problema, pero el soldado romano no estaba interesado en su problema y lo mató en el acto. Aún en peligro, la devoción de Arquímedes por la matemática siguió inmutable.
A mediados del siglo I a. C. los romanos reforzaron el control sobre el antiguo imperio griego, no estaban tan impresionados con la belleza de la matemática sino más bien por sus aplicaciones prácticas. Esta actitud pragmática marcó el principio del fin para la biblioteca de Alejandría. Pero una mujer matemática estaba decidida a preservar vivo el legado de los griegos. Hipatia fue excepcional: mujer, matemática y pagana en medio de un difícil y cristiano imperio romano.
Hipatia era muy prestigiosa e influyente en su tiempo, fue maestra de muchos estudiantes y muchos seguidores. Ella tuvo una gran influencia política en Alejandría, así que esta combinación de alto conocimiento y de alto prestigio dentro de la sociedad fue lo que la convirtió en una figura sumamente odiada por la “mafia” cristiana.
Una mañana, durante la cuaresma, Hipatia fue arrastrada fuera de su carroza por una encendida multitud cristiana y llevada a una iglesia, allí fue torturada y brutalmente asesinada. Las circunstancias dramáticas de su vida y su muerte fascinaron a las generaciones posteriores, lamentablemente su religión eclipsó sus logros matemáticos. Ella fue una profesora y teórica brillante, y su muerte representó la estocada final para la herencia de la matemática griega en Alejandría.
